Rozwiązanie równania struny ograniczonej metodą rozdzielania zmiennych

Metoda rozdzielania albo separacji zmiennych, zwana też metodą Fouriera, jest jedną z najstarszych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na próbie wyznaczenia rozwiązania danego równania w postaci kombinacji funkcji o mniejszej ilości zmiennych. Najczęściej szukamy rozwiązania w postaci sumy lub iloczynu funkcji. W szczególności, jeśli szukane rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest funkcją zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \), to rozwiązania tego możemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji z których jedna jest funkcją zmiennej \( \hskip 0.3pc x, \hskip 0.3pc \) a druga zmiennej \( \hskip 0.3pc t. \hskip 0.3pc \) Metoda ta jest szczególnie przydatna, jeśli szukamy rozwiązania w zbiorze ograniczonym o zadanych wartościach na brzegu obszaru. Zinterpretujemy to poniżej rozważając równanie struny ograniczonej jednorodnej o jednorodnych warunkach brzegowych.

Rozważmy równanie struny

(1)

\( u_{tt}=a^2 u_{xx}, \quad 0< x< l,\quad t> 0, \)

z warunkami brzegowymi

(2)

\( u(0,t)=0, \quad u(l,t)= 0, \quad t\geq 0. \)

oraz warunkami początkowymi

(3)

\( u(x,0)=\varphi (x), \quad u_t(x,0)= \psi (x), \quad 0 \leq x \leq l. \)

Przyjmujemy przy tym, że \( \hskip 0.3pc \varphi (0)=\varphi (l)=0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \psi (0)=\psi (l)=0. \hskip 0.3pc \)
Szukamy rozwiązania w postaci

\( u(x,t)=T(t) X(x). \)

Podstawiając ostatnią funkcje do równania ( 1 ) otrzymamy

\( T^{\prime\prime}(t) X(x)=a^2 T(t) X^{\prime\prime}(x). \)

Przyjmując, że \( \hskip 0.3pc T\neq 0\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc X\neq 0 \hskip 0.3pc \) możemy ostatnie równanie przekształcić do postaci

\( \dfrac{1}{a^2}\dfrac{T^{ \prime\prime}(t)}{ T(t)}=\dfrac {X^{ \prime\prime}(x)}{ X(x)} \)

Ponieważ lewa strona zależy tylko od \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \) zaś prawa strona tylko od \( \hskip 0.3pc x, \hskip 0.3pc \) zatem oba ilorazy muszą być równe stałej. Oznaczając tę stałą przez \( \hskip 0.3pc-\lambda \hskip 0.3pc \), ostatnią równość możemy zapisać w postaci dwóch równań:

(4)

\( T^{\prime\prime}(t)+\lambda a^2 T(t)=0, \quad X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0. \)

Ponadto z warunków brzegowych ( 2 ) wynika natychmiast, że

(5)

\( X(0)=0, \quad X(l)=0. \)

Przedyskutujemy teraz rozwiązania równań ( 4 ) w zależności od znaku \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \)

Przypadek \( \hskip 0.3pc \lambda <0. \hskip 0.3pc \)
Rozwiązania równań ( 4 ) mają postać:

\( T(t)=A e^{\sqrt {-\lambda}\,at} +B e^{-\sqrt {-\lambda}\,at},\qquad X(x)= C e^{\sqrt {-\lambda}\,x} +D e^{-\sqrt {-\lambda}\,x}. \)

Z warunków brzegowych ( 5 ) wynika, że \( \hskip 0.3pc C=D=0, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc u(x,t)=0. \hskip 0.3pc \). Ponieważ rozwiązanie zerowe nie jest dla nas interesujące, przypadek ten należy odrzucić.
Przypadek \( \hskip 0.3pc \lambda =0. \hskip 0.3pc \)
Rozwiązania równań ( 4 ) mają postać:

\( T(t)=A+B t,\qquad X(x)=C+D x. \)

Uwzględniając warunki brzegowe ( 5 ) otrzymamy jak poprzednio \( \hskip 0.3pc u(x,t)=0, \hskip 0.3pc \), a zatem również ten przypadek należy odrzucić.
Przypadek \( \hskip 0.3pc \lambda >0. \hskip 0.3pc \) Wygodnie jest teraz w równaniu ( 4 ) symbol \( \hskip 0.3pc\lambda\hskip 0.3pc \) zastąpić symbolem \( \hskip 0.3pc \lambda^2, \hskip 0.3pc \) czyli zapisać te równania w postaci:

\( T^{\prime\prime}(t)+\lambda^2 a^2 T(t)=0, \quad X^{\prime\prime}(x)+\lambda^2 X(x)=0. \)

Rozwiązania mają wówczas postać

\( T(t)=A \cos ({\lambda} a t)+B \sin({\lambda} a t),\quad X(x)=C\cos({\lambda} x)+D \sin({\lambda} x). \)

Z warunku \( \hskip 0.3pc X(0)=0\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc C=0, \hskip 0.3pc \) a warunek \( \hskip 0.3pc X(l)=0 \hskip 0.3pc \) daje równość

\( \sin(\lambda l)=0, \)

która jest spełniona dla \( \hskip 0.3pc \lambda_n =\dfrac{n\pi}{l}, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N. \hskip 0.3pc \) Wartości te nazywamy wartościami własnymi. Zauważmy, że tylko dla takich wartości \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) może istnieć szukane rozwiązanie.
Dla \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N \hskip 0.3pc \) połóżmy

\( T_n(t)= A_n \cos (\dfrac{na\pi}{l}t) +B_n \sin(\dfrac{na\pi}{l}t), \qquad X_n(x)=C_n \sin(\dfrac{n\pi}l x) \)

oraz

(6)

\( u_n(x,t) = \Big(A_n \cos(\dfrac{na\pi}{l}t )+B_n \sin(\dfrac{na\pi}{l}t)\Big) \sin(\dfrac{n\pi}{l} x) . \)

Zauważmy, że tak określona funkcja \( \hskip 0.3pc u_n \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ), spełnia warunki brzegowe ( 2 ), ale na ogół nie spełnia warunków początkowych ( 3 ).
Rozwiązania równania ( 1 ) które będzie spełniać waruneki ( 2 ) i ( 3 ) będziemy szukać w postaci sumy szeregu

(7)

\( u(x,t)= \displaystyle\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x,t). \)

Załóżmy, że szereg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny jak również szereg pierwszych i drugich pochodnych jest jednostajnie zbieżny do odpowiedniej pochodnej z funkcji \( \hskip 0.3pc u. \hskip 0.3pc \). Przy przyjętych założeniach pochodne szeregu są równe szeregowi pochodnych, a funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) spełnia równanie ( 1 ) oraz warunki brzegowe ( 2 ).
Oczywiście

\( u(x,0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(\dfrac{n\pi}l x) . \)

Załóżmy dalej, że funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) można rozwinąć w szereg sinusów w przedziale \( \hskip 0.3pc [0,l] \hskip 0.3pc \)

\( \varphi (x)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n \sin(\dfrac{n\pi}l x), \)

gdzie

\( \alpha_n =\dfrac 2l \displaystyle\int_0^l\varphi (s) \sin(\dfrac{n\pi}{l} s)ds. \)

Zauważmy, że pierwszy z warunków początkowych \( \hskip 0.3pc u(x,0)=\varphi (x)\hskip 0.3pc \) jest spełniony, jeśli \( \hskip 0.3pc A_n =\alpha_n\hskip 0.3pc \), czyli

\( A_n =\dfrac 2l \displaystyle\int_0^l\varphi (s)\sin(\dfrac{n\pi}l s) ds. \)

W celu zapewnienia drugiego z warunków początkowych należy policzyć pochodną z funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \).

\( \dfrac{\partial}{\partial t}u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{na\pi}l \Big(-A_n \sin(\dfrac{na\pi}l t) +B_n \cos(\dfrac{na\pi}l t)\Big) \sin(\dfrac{n\pi}l x) . \)

Stąd

\( \dfrac{\partial}{\partial t}u(x,0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{na\pi}l B_n \sin(\dfrac{n\pi}l x ). \)

Rozwijając funkcje \( \hskip 0.3pc\psi\hskip 0.3pc \) w szereg sinusów otrzymamy

\( \psi (x)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\beta_n \sin(\dfrac{n\pi}l x), \)

gdzie

\( \beta_n =\dfrac 2l \displaystyle\int_0^l\psi (s) \sin(\dfrac{n\pi}l s) ds. \)

Zatem drugi z warunków początkowych ( 3 ) jest spełniony, jeśli \( \hskip 0.3pc \dfrac{na\pi}{l} B_n =\beta_n\hskip 0.3pc \), czyli

\( B_n =\dfrac 2{na\pi} \displaystyle\int_0^l\psi (s) \sin(\dfrac{n\pi}l s) ds. \)

Szukane rozwiązanie ( 7 ) ma zatem postać

(8)

\( \begin{aligned} u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \Bigg[&\dfrac 2l \displaystyle\int_0^l\big(\varphi (s) \sin(\dfrac{n\pi}l s)\big) ds \, \cos(\dfrac{na\pi}l t)+ \\& \dfrac 2{na\pi} \displaystyle\int_0^l\big(\psi (s) \sin(\dfrac{n\pi}l s) \big)ds \,\sin(\dfrac{na\pi}l t )\Bigg] \sin(\dfrac{n\pi}l x) .\end{aligned} \)

Rozważmy ponownie rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u_n\hskip 0.3pc \) dane wzorem ( 6 ). Kładąc

\( \rho_n= \sqrt{A_n^2+B_n^2}, \quad \cos(\widetilde{\varphi}_n)=\dfrac{A_n}{\rho_n}, \quad \sin(\widetilde{\varphi}_n)= \dfrac{B_n}{\rho_n}, \quad {\varphi}_n =\dfrac l{na\pi }\widetilde{\varphi}_n, \)

otrzymamy

\( u_n(x,t)= \rho_n \cos\big(\dfrac{na\pi}l(t- \varphi _n)\big) \sin\big(\dfrac{n\pi}l x\big). \)

Funkcja \( \hskip 0.3pc u_n\hskip 0.3pc \) opisuje drgania harmoniczne (tzw. n-ta harmoniczna) odpowiadające wartości własnej \( \hskip 0.3pc\lambda_n = \dfrac{n\pi}{l}\hskip 0.3pc \), przy czym występujące tu wielkości mają następującą interpretacje fizyczną:

\( \hskip 0.3pc\rho_n \sin(\dfrac{n\pi}l x)\hskip 0.3pc -\,\, \) amplituda drgania \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-tejharmonicznej;

\( \hskip 0.3pc \omega_n= \dfrac{na\pi}l \hskip 0.3pc-\,\, \) częstotliwość drgania \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-tej harmonicznej.

Pamiętając że \( \hskip 0.3pc a^2=\dfrac{T}{\rho}\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) oznacza siłę naprężenia a \( \hskip 0.3pc\rho\hskip 0.3pc \) gęstość, otrzymamy

\( \omega_n= \dfrac{n\pi}{l} \sqrt{\dfrac{T}{\rho}}. \)

Częstotliwość \( \omega_1 = \dfrac{\pi}{l} \sqrt{\dfrac{T}{\rho}}\hskip 0.3pc \) odpowiada tzw. dżwiękowi podstawowemu (zwanemu też pierwszą harmoniczną). Jest to dżwięk najsilniejszy. Melodia struny zależy natomiast od dalszych dżwięków uzupełniających.
Jeśli \( \hskip 0.3pc A_1 = \ldots =A_{n-1}=0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc B_1 = \dots =B_{n-1}=0,\hskip 0.3pc \) natomiast \( \hskip 0.3pc A_n\neq 0\hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc B_n\neq 0\hskip 0.3pc \), dżwięk podstawowy odpowiada częstotliwości \( \hskip 0.3pc\omega_n.\hskip 0.3pc \) Wynika stąd, że dżwięk struny zależy od warunków początkowych

\( \hskip 0.3pc u(x,0)=\varphi (x),\hskip 0.4pc u_t(x,0)=\psi (x)\hskip 0.3pc \)

oraz wielkości \( \hskip 0.3pc l,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \rho\hskip 0.3pc \).

Informacja dodatkowa 1: Uzasadnienie poprawności metody

Opisane w powyżej postępowanie jest słuszne, jeśli szereg ( 7 ) oraz szeregi pierwszych i drugich pochodnych są jednostajnie zbieżne. Podamy teraz proste warunki przy których zbieżność taka zachodzi.

Przypomnijmy, że

\( u(x,t)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \Big(A_n \cos (\dfrac{an\pi}{l}t) +B_n \sin ( \dfrac{an\pi}{l}t)\Big) \sin ( \dfrac{n\pi}l x), \)

gdzie

\( A_n =\dfrac 2l \displaystyle\int_0^l\varphi (s) \sin ( \dfrac{n\pi}ls) ds, \quad B_n =\dfrac 2{an\pi} \displaystyle\int_0^l\psi (s) \sin (\dfrac{n\pi}l s ) ds. \)

Oczywiście

\( |u_n(x,t)|\leq |A_n|+|B_n|. \)

Z równości

\( \dfrac{\partial}{\partial t}u_n(x,t)= \dfrac{an\pi}l \Big(-A_n \sin (\dfrac{na\pi}lt) +B_n \cos (\dfrac{na\pi}l t)\Big) \sin (\dfrac{n\pi}l x) , \)

wynika, że

\( |\dfrac{\partial}{\partial t}u_n(x,t)|\,\leq\, \dfrac{na\pi}{l} \big(|A_n|+|B_n|\big). \)

Podobnie możemy pokazać, że

\( \big|\dfrac{ \partial^2}{ \partial t^2}u_n(x,t)\big|\leq \Big(\dfrac{na\pi}{l}\Big)^2 \big(|A_n|+|B_n|\big); \)

\( \big|\dfrac{\partial }{\partial x}u_n(x,t)\big|\leq \dfrac{n\pi}{l} \big(|A_n|+|B_n|\big); \)

\( \big|\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}u_n(x,t)\big|\leq \Big(\dfrac{n\pi}{l}\Big)^2 \big(|A_n|+|B_n|\big). \)

Aby uzyskać jednostajną zbieżność wspomnianych wyżej szeregów wystarczy pokazać, że zbieżne są szeregi liczbowe

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^k |A_n| \quad {\rm oraz}\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^k |B_n|, \quad {\rm dla}\quad k=0,1,2. \)

Oczywiście wystarczy pokazać zbieżność tych szeregów dla \( \hskip 0.3pc k=2. \hskip 0.3pc \)
Pokażemy teraz zbieżność szeregu

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^2 |A_n| \)

przy dodatkowym założeniu, że funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) posiada czwartą pochodną, pochodna ta jest funkcją całkowalną i ponadto \( \hskip 0.3pc \varphi(0)=\varphi(l)=0 \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc\varphi^{\prime\prime} (0)=\varphi^{\prime\prime}(l)=0.\hskip 0.3pc \) Przyjmując \( \hskip 0.3pc \lambda_n = \dfrac{n\pi}{l}\hskip 0.3pc \) mamy

\( A_n =\dfrac 2l \displaystyle\int_0^l\varphi (s) \sin ( \lambda_n s) ds. \)

Całkując czterokrotnie przez części otrzymamy

\( \displaystyle\int_0^l\varphi (s) \sin ( \lambda_n s )\,ds\, =\, -\dfrac 1{\lambda_n} \varphi (s) \cos (\lambda_n s) \bigg|_0^l+ \dfrac 1{\lambda_n} \displaystyle\int_0^l\varphi ^\prime(s) \cos (\lambda_n s) \,ds \qquad\qquad\qquad \)

\( \quad = \dfrac 1{\lambda_n} \displaystyle\int_0^l\varphi '(s)\cos (\lambda_n s) \,ds\,=\,\dfrac 1{\lambda_n^2} \varphi ^\prime (s) \sin (\lambda_n s)\bigg|_0^l- \dfrac 1{\lambda_n^2} \displaystyle\int_0^l\varphi ^{\prime\prime}(s)\sin ( \lambda_n s )\,ds \)

\( \qquad\quad = - \dfrac 1{\lambda_n^2} \displaystyle\int_0^l\varphi ^{\prime\prime}(s)\sin ( \lambda_n s) \,ds \,=\,\dfrac 1{\lambda_n^3} \varphi^{\prime\prime}(s) \cos ( \lambda_n s) \bigg|_0^l- \dfrac 1{\lambda_n^3} \displaystyle\int_0^l\varphi^{\prime\prime\prime}(s) \cos (\lambda_n s) \,ds \)

\( \qquad\quad =-\dfrac 1{\lambda_n^3} \displaystyle\int_0^l\varphi^{\prime\prime\prime}(s) \cos (\lambda_n s )\,ds =-\dfrac 1{\lambda_n^4}\varphi^{\prime\prime\prime}(s) \sin (\lambda_n s) \bigg|_0^l+ \dfrac 1{\lambda_n^4}\displaystyle\int_0^l\varphi ^{\prime\prime\prime\prime}(s) \sin (\lambda_n s )\,ds \quad \)

\( = \dfrac 1{\lambda_n^4} \displaystyle\int_0^l\varphi^{\prime\prime\prime\prime}(s)\sin ( \lambda_n s )\,ds. \qquad \qquad\qquad\qquad \)

Stąd

\( |A_n|= \Big| \dfrac 2l\dfrac 1{\lambda_n^4} \displaystyle\int_0^l\varphi ^{\prime\prime\prime\prime}(s)\sin ( \lambda_n s )\,ds \Big|\leq \dfrac{2l^3}{n^4\pi^4} \displaystyle\int_0^l|\varphi^{\prime\prime\prime\prime}(s)|\,ds\,=\, \dfrac 1{n^4} C, \)

gdzie

\( C = \dfrac{2l^3}{\pi^4} \displaystyle\int_0^l|\varphi^{\prime\prime\prime\prime}(s)|\,ds. \)

W konsekwencji

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^2 |A_n| \leq C\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1{n^2} , \)

skąd - na mocy kryterium porównawczego - wynika natychmiast, że badany szereg \( \hskip 0.3pc \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^2 |A_n| \hskip 0.3pc \) jest zbieżny. Analogicznie możemy pokazać, że szereg \( \hskip 0.3pc \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^2 |B_n| \hskip 0.3pc \) jest zbieżny. Oczywiście, przy przyjętych założeniach, również szeregi \( \hskip 0.3pc \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n |A_n| \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n |B_n|\hskip 0.3pc \) są zbieżne. Oznacza to, że metoda zastosowana w tym module przy przyjętych założeniach o funkcjach \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) jest poprawna.
Z teorii szeregów Fouriera wiadomo, że przyjęte tu założenia o funkcjach \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) można znacznie osłabić.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązanie równania struny ograniczonej metodą rozdzielania zmiennych

Informacja dodatkowa 1: Uzasadnienie poprawności metody